WikiPortallus: Brøk.html

En brøk er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Tallet over brøkstreken kalles teller og tallet under brøkstreken kalles nevner, og denne må være forskjellig fra null. Dersom teller er større enn nevner kalles brøken uekte, ellers kalles den ekte. En brøk kalles også et rasjonalt tall.

En brøk representerer det eksakte tallet man får ved å dividere telleren med nevneren. Eksemplet med $\frac{2}{3}$ representerer dermed 2 : 3, som uttrykt med desimalbrøk er ca. 0,6667. Dette tallet kan faktisk ikke skrives helt nøyaktig som desimaltall, så en brøk kan være nyttig hvis man ønsker å beregne noe helt nøyaktig.

rediger Ekte og uekte brøker

Man skiller ofte mellom ekte og uekte brøker, hvor ekte brøker alltid representerer et tall som er (numerisk) mindre enn 1, f.eks. $\frac{2}{3}$ . Hvis telleren er større enn nevneren, representerer brøken et tall som er større enn 1, og da er det snakk om en uekte brøk.

Uekte brøker kan også skrives som et såkalt blandet tall. For eksempel er $\frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2}$ , og som blandet tall skrives denne brøken som $1\frac{1}{2}$ .

rediger Utvidelse og forkortelse

Ved å multiplisere («gange») telleren a og nevneren b med ett og samme tall, får man en "ny" brøk, som representerer samme tall som den opprinnelige brøken. Matematisk kan man skrive det slik:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$

Man sier da at brøken $\frac{a}{b}$ er blitt utvidet med tallet c. I eksemplet under utvides brøken $\frac{2}{5}$ med 3:

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$

Legg merke til at $\frac{2}{5}$ og $\frac{6}{15}$ begge representerer det samme tallet, nemlig 0,4.

Omvendt, hvis man kan finne et tall. c som er delelig på både teller og nevner (dvs. begge tall kan deles med c uten at der blir en rest), kan man dividere telleren og nevneren med dette tallet og få en ny brøk som stadig representerer samme tall som den opprinnelige brøken. Dette kalles å forkorte en brøk, og matematisk kan det skrives slik:

$\frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c}$

Brøken $\frac{a}{b}$ sies å være forkortet med tallet c. I eksemplet under blir brøken $\frac{6}{8}$ forkortet med 2:

$\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}$

Igjen ser man at både den opprinnelige brøken og resultatet av forkortelsen representerer samme tall, her 0,75.

rediger Regneregler for brøk

Der fins en mengde regneregler som gjør det mulig å regne med brøker slik at man beholden den nøyaktige representasjon av tallene.

rediger Addisjon og subtraksjon

Hvis de to brøkene har samme nevner, kan man uten videre legge dem sammen eller trekke dem fra hverandre ved å addere eller subtrahere tellerne, og bevare nevneren. Matematisk skrives dette slik:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ hhv. $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$

I eksemplet under beregnes summen av $\frac{1}{5}$ og $\frac{3}{5}$ :

$\frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \frac{1 + 3}{5} = \frac{4}{5}$

Etter addisjonen (subtraksjonen) kan det hende at den brøken man får til svar kan forkortes.

Hvis brøkene har ulike nevnere, blir det nødvendig å utvide den ene eller begge brøkene slik at de får like nevnere - brøkene representerer fremdeles de samme tallene selv om man utvider eller forkorter dem. Deretter kan de adderes eller subtraheres som nevnt over.

Man kan bruke produktet av de to nevnerne som felles nevner:

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$

Legg merke til at den første brøken utvides med nevneren til den siste, og den siste brøken utvides med nevneren til den første. Dermed blir nevnerne nevnerne b · d og d · b, som jo er like.

I eksemplet under adderes brøkene $\frac{1}{2}$ og $\frac{1}{3}$ :

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

I det siste eksemplet subtraheres to brøker. Som fellesnevner velges her et tall som er mindre enn produktet av de opprinnelige nevnerne, men likevel blir det til slutt mulig å forkorte brøken:

$\frac{5}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{25}{30} - \frac{3}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15}$

rediger Multiplikasjon

Man multipliserer («ganger») to brøker med hverandre ved å multiplisere tellerne for seg og nevnerne for seg:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Resultatet etter multiplikasjonen kan muligens forkortes.

I dette eksempel multipliseres brøkene $\frac{3}{5}$ og $\frac{1}{4}$ :

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 4} = \frac{3}{20}$

rediger Resiproke brøker

Man finner den resiproke til en brøk ved ganske enkelt at bytte om på brøkens teller og nevner:

$\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}$

For eksempel er den resiproke brøken til $\frac{3}{4}$ lik $\frac{4}{3}$ . Denne uekte brøken kan forøvrig skrives som et blandet tall: $1\frac{1}{3}$ .

rediger Divisjon

Generelt gjelder at man kan dividere to tall ved at multiplisere dividenden med det resiproke tallet til divisoren, altså $a : b = a \cdot \frac{1}{b}$ . Dette kan også brukes til divisjon av brøker, hvor beregningen ser slik ut:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Skal man f.eks. dividere $\frac{4}{5}$ med $\frac{2}{3}$ , foregår det på denne måten:

$\frac{4}{5} : \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{10}$

Denne uekte brøken kan forkortes til $\frac{6}{5}$ . og skrives som et blandet tall: $1\frac{1}{5}$ .

rediger Røtter og potenser

Man kan trekke n-te roten av en brøk ved å trekke den samme roten av både teller og nevner:

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

For eksempel kan man ta kvadratroten (n = 2) av $\frac{9}{16}$ slik:

$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$

Tilsvarende gjelder for den n-te potensen av en brøk:

$\left( \frac{a}{b} \right) ^n = \frac{a^n}{b^n}$

rediger Logaritmer

Da en brøk egentlig er en divisjon, gjelder logaritmeregnereglen for divisjon også for en brøk. Altså er:

$log \frac{a}{b} = \log a - \log b$

rediger Brøk som eksponent

Hvis en brøk opptrer som eksponenten i en potens (med positivt grunntall), kan uttrykket omskrives til en rot etter følgende prinsipp:

$10^\frac{3}{5} = \left( \sqrt[5]{10} \right) ^3$ eller $10^\frac{3}{5} = \sqrt[5]{10^3} = \sqrt[5]{1000}$

rediger Prosent og promille

Prosent og promille er en måte å uttrykke ting som en brøk: «Prosent» er hundredeler, og ordet betyr direkte oversatt «per hundre». Dermed er 20% = $\frac{20}{100}$ . Tilsvarende betyr «promille» direkte oversatt «per tusen», og 3 ‰ er det samme som $\frac{3}{1000}$ .