ï»ż

 

En aritmetisk fþlge er en fþlge der differansen mellom et tall og det neste er konstant. For eksempel er {4,7,10,13,16,
} en aritmetisk fþlge siden differansen mellom to naboer alltid er 3. Hvis differansen d er gitt, og man i tillegg kjenner verdien av det fþrste tallet, a1, er fþlgen entydig bestemt, og det n-te tallet er gitt ved

an = a1 + (n − 1)d.

rediger Summen av elementene i en aritmetisk fĂžlge (aritmetisk rekke)

Hvis man lar sn vĂŠre summen av de n fĂžrste tallene i fĂžlgen, danner \{s_1,s_2,\ldots\} en aritmetisk rekke. Gitt en aritmetisk fĂžlge hvor a1 og d er kjent, finnes det en enkel formel for summen av elementene, nemlig

s_n = \frac {n(2a_1+(n-1)d)}2.

En versjon av denne formelen forekommer i Liber Abaci (1202) av Leonardo av Pisa.

For Ä utlede denne formelen, legger vi merke til at sn kan uttrykkes pÄ to forskjellige mÄter:

s_n = a_1+(a_1+d) + (a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)
s_n = (a_n-(n-1)d) + (a_n - (n-2)d) + \cdots + (a_n-2d)+(a_n-d)+a_n

Summerer vi begge sidene av disse ligningene, vil alle summandene som inneholder d kanseleres, og vi sitter igjen med

2sn = n(a1 + an).

Bruker vi formelen for an, som er gitt ovenfor, fĂžlger formelen for sn.

rediger Aritmetiske fĂžlger i Ramsey-teori

Flere problemer i Ramsey-teori handler om aritmetiske fĂžlger. En generell formulering er at en mengde A med naturlige tall er gitt, og problemet er Ă„ finne ut hvor lange aritmetiske fĂžlger som er inneholdt i A.

La n vĂŠre et naturlig tall, og anta at man fargelegger alle tallene fra 1 til n med r farger, slik at hvert tall fĂ„r Ă©n farge. Van der Waerdens teorem fra 1927 sier at hvis k og r er gitt, sĂ„ kan n alltid velges sĂ„ stor at det helt sikkert finnes en aritmetisk fĂžlge med k elementer, slik at alle elementene i fĂžlgen har samme farge. En slik fĂžlge kalles monokromatisk.

En ekvivalent formulering av dette teoremet sier at hvis man fargelegger alle de naturlige tallene med r farger, sÄ vil det finnes vilkÄrlig lange monokromatiske fÞlger.

I 1975 beviste Szemerédi en generalisering av dette teoremet, som er kjent som Szemerédis teorem. Han viste at for enhver tetthet d, hvor 0 < d < 1, og ethvert naturlig tall k, sÄ finnes et tall N slik at hvis n\geq N, sÄ vil enhver delmengde av \{1,\ldots,n\} med minst dn elementer inneholde en aritmetisk fÞlge av lengde k.

Mer generelt A vĂŠre en delmengde av de naturlige tallene. Et problem som har fĂ„tt en del opperksomhet er spĂžrsmĂ„let om hvilke karakteristikker av A som garanterer at A inneholder vilkĂ„rlig lange aritmetiske fĂžlger. SzemerĂ©dis teorem garanterer at det er tilstrekkelig at A har sĂ„kalt positiv Ăžvre tetthet. En berĂžmt formodning er ErdƑs’ formodning som sier at hvis summen av inversene til elementene i A divergerer, sĂ„ vil A inneholde vilkĂ„rlig lange aritmetiske fĂžlger. ErdƑs har tilbudt 3000 dollar for lĂžsningen av denne formodningen. Green–Taos teorem fra 2004 sier at primtallene inneholder vilkĂ„rlig lange aritmetiske fĂžlger. Siden summen av inversene til primtallene divergerer, er dette teoremet et spesialtilfelle av ErdƑs’ formodning.