Wikipedia



 

En aritmetisk følge er en følge der differansen mellom et tall og det neste er konstant. For eksempel er {4,7,10,13,16,…} en aritmetisk følge siden differansen mellom to naboer alltid er 3. Hvis differansen d er gitt, og man i tillegg kjenner verdien av det første tallet, a₁, er følgen entydig bestemt, og det n-te tallet er gitt ved

a_n = a₁ + (n − 1)d.

rediger Summen av elementene i en aritmetisk følge (aritmetisk rekke)

Hvis man lar s_n være summen av de n første tallene i følgen, danner en aritmetisk rekke. Gitt en aritmetisk følge hvor a₁ og d er kjent, finnes det en enkel formel for summen av elementene, nemlig

En versjon av denne formelen forekommer i Liber Abaci (1202) av Leonardo av Pisa.

For å utlede denne formelen, legger vi merke til at s_n kan uttrykkes på to forskjellige måter:

Summerer vi begge sidene av disse ligningene, vil alle summandene som inneholder d kanseleres, og vi sitter igjen med

2s_n = n(a₁ + a_n).

Bruker vi formelen for a_n, som er gitt ovenfor, følger formelen for s_n.

rediger Aritmetiske følger i Ramsey-teori

Flere problemer i Ramsey-teori handler om aritmetiske følger. En generell formulering er at en mengde A med naturlige tall er gitt, og problemet er å finne ut hvor lange aritmetiske følger som er inneholdt i A.

La n være et naturlig tall, og anta at man fargelegger alle tallene fra 1 til n med r farger, slik at hvert tall fÃ¥r én farge. Van der Waerdens teorem fra 1927 sier at hvis k og r er gitt, sÃ¥ kan n alltid velges sÃ¥ stor at det helt sikkert finnes en aritmetisk følge med k elementer, slik at alle elementene i følgen har samme farge. En slik følge kalles monokromatisk.

En ekvivalent formulering av dette teoremet sier at hvis man fargelegger alle de naturlige tallene med r farger, så vil det finnes vilkårlig lange monokromatiske følger.

I 1975 beviste Szemerédi en generalisering av dette teoremet, som er kjent som Szemerédis teorem. Han viste at for enhver tetthet d, hvor 0 < d < 1, og ethvert naturlig tall k, så finnes et tall N slik at hvis , så vil enhver delmengde av med minst dn elementer inneholde en aritmetisk følge av lengde k.

Mer generelt A være en delmengde av de naturlige tallene. Et problem som har fÃ¥tt en del opperksomhet er spørsmÃ¥let om hvilke karakteristikker av A som garanterer at A inneholder vilkÃ¥rlig lange aritmetiske følger. Szemerédis teorem garanterer at det er tilstrekkelig at A har sÃ¥kalt positiv øvre tetthet. En berømt formodning er ErdÅ‘s’ formodning som sier at hvis summen av inversene til elementene i A divergerer, sÃ¥ vil A inneholde vilkÃ¥rlig lange aritmetiske følger. ErdÅ‘s har tilbudt 3000 dollar for løsningen av denne formodningen. Green–Taos teorem fra 2004 sier at primtallene inneholder vilkÃ¥rlig lange aritmetiske følger. Siden summen av inversene til primtallene divergerer, er dette teoremet et spesialtilfelle av ErdÅ‘s’ formodning.