ï»ż

 

I tallteori sÄ sier aritmetikkens fundamentalteorem at ethvert naturlig tall stÞrre enn 1 kan skrives som en unik kombinasjon av primtall. For eksempel er:

36 = 2^2 \times 3^2

6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2

Det er ingen annen mÄte Ä faktorisere disse tallene pÄ (dette kalles primtallsfaktoriseringen av de nevnte tallene). Dette betyr at primtallene kan ses pÄ som en type "byggesteiner" som alle de andre heltallene bestÄr av. Fordi multiplikasjon er kommutativ, spiller det ingen rolle hvilken faktor som skrives fÞrst (og som regel skriver man de fra minste til hÞyeste).

rediger Anvendelser

En kan si at det er pÄ grunn av aritmetikkens fundamentalteorem og det at alle heltall er bygd opp av primtall at matematikere opp gjennom tidene har vÊrt sÄ opptatt av nettopp primtall. Dette teoremet viser hvor viktige de (primtallene) er.

Om man kjenner primtallsfaktorisingen til et gitt tall, er det lett Ă„ finne stĂžrste fellesnevner og minste felles multiplum. Eksempelvis er stĂžrste fellesnevner til tallene over 2^2 \times 3 = 12. Om primtallsfaktoriseringen imidlertid ikke er kjent, er det som regel raskere Ă„ bruke Euklids algoritme for Ă„ finne stĂžrste fellesnevner.

rediger Bevis

Vi skal vise at enhvert naturlig tall n > 1 pÄ en unik mÄte kan skrives som produktet av primtall (om man ser bort i fra rekkefÞlgen faktorene skrives i). Vi beviser fÞrst at man kan skrive at vilkÄrlig tall pÄ denne mÄten. EtterpÄ beviser vi at denne representasjonen er unik.

Enten er n et primtall eller ikke. Hvis n er et primtall sÄ er det ikke noe mer Ä bevise. Om n ikke er noe primtall, sÄ finnes det et heltall d som deler n, hvor 1 < d < n. Blant alle slike d, velg p1 som det minste. Da mÄ p1 vÄre et primtall. Ellers ville ogsÄ det tallet hatt en divisor q hvor 1 < q < p1, noe som motsier at q1 er det minste tallet som deler n.

Vi kan dermed skrive n = p1n1. Hvis n1 et et primtall er det ikke mer Ă„ bevise. Hvis ikke kan vi gjenta argumentasjonen og produsere et nytt primtall p2 slik at n = p1p2n2.

Dette kan vi fortsette med lenge, men n > n_1 > n_2 \cdots > 1 kan ikke fortsette evig, sĂ„ til slutt vil nk − 1 vĂŠre et primtall vi kan kalle pk.

For Ä bevise at denne representasjonen er unik, anta at n kan skrives som produktet av primtall pÄ to mÄter, la oss si n = p_1p_2 \cdots p_r = q_1q_2 \cdots q_s, der r \leq s, og pi og qj er primtall skrevet i stigende rekkefÞlge slik at p_1 \leq p_2 \leq \cdots \leq p_r og q_1 \leq q_2 \leq \cdots \leq q_s.

Fordi p1 deler q_1q_2 \cdots q_s mÄ p1 = qk for en eller annen k. Men da er p_1 \geq q_1. Om vi argumenterer pÄ lignende mÄte fÄr vi ogsÄ at q_1 \geq p_1, og dermed at p1 = q1. Om vi gjentar denne prosessen fÄr vi at p2 = q2, altsÄ at p_3p_4 \cdots p_r = q_3q_4 \cdots q_s. Om r < s fÄr vi at 1 = q_{r+1}q_{r+2} \cdots q_s, noe som er absurd, og dermed er r = s, og p1 = q1, p_2 = q_2 \cdots p_r = q_r, noe som gjÞr de to faktoriseringene identiske. Beviset er dermed fullfÞrt.

rediger Litteratur

  • David M. Burton (2007) Elementary Number Theory – McGrav - Hill. ISBN 007-124425-5.