Et andreordens dynamisk system er en prosess som kan beskrives med en andreordens differensialligning.

rediger Masse-fjær-demper-systemet

Dette er et vanlig eksempel på et andreordens dynamisk system. En masse er opphengt i en fjær og dempes proporsjonalt med farten. Hvis vi kun er interessert i systemets dynamikk kan vi se bort fra konstante krefter som tyngdekraft. Fra Newtons 2. lov og Hookes lov kan systemet beskrives slik:

m \cdot {d^2 x \over dt^2} = -D \cdot {dx \over dt} - k \cdot x som er det samme som

m \ddot x = -D \cdot \dot x - k \cdot x

Der x er posisjon, m er massen, D er dempingskonstant og k er fjærkonstant. Skrevet på standardform blir likningen slik:

{\ddot x} + {D \over m} \cdot \dot x + {k \over m} \cdot x = 0

Prosessen er homogen, siden uttrykket er lik 0. Ved å innføre udempet resonansfrekvens ω0 og relativ dempingsfaktor ζ,

\omega_0=\sqrt{k \over m}, \zeta={D \over {2 \sqrt{km}}},

kan likningen omskrives til:

{\ddot x} + 2 \zeta \omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = 0.

Systemet er overdempet hvis ζ>1, kritisk dempet hvis ζ=1 og underdempet hvis ζ<1. Et overdempet system har treg transient respons, og vil nærme seg stasjonærverdien sakte og teoretisk sett aldri komme dit, mens et underdempet system vil oscillere om stasjonærverdien. Et kritisk dempet system vil svinge inn mot den nøyaktige stasjonærverdien uten oversving og bli der. Et underdempet system svinger med lavere frekvens jo større demping det er, noe som kommer av at den dempede resonansfrekvensen, ωD er lik:

\omega_D = \omega_0 \cdot \sqrt{1 - \zeta^2}

Når man løser likningen for et underdempet homogent system, får man som løsninger to komplekse tall som er konjugerte av hverandre og kan skrives på formen λ=v±iω. Da er den generelle løsningen:

x = e^{vt} \cdot (C_1 \cos (\omega t) + C_2 \sin (\omega t))