Adveksjonsligningen er en partiell differensialligning som styrer bevegelsen til en konservert skalar når den blir advektert av et kjent vektorfelt. Den blir utledet ved å bruke skalaren sin bevaringslov sammen med Gauss' teorem og ved å bruke infinitesimale grenser.

Dette beskriver det som skjer når et bevart kvantum (skalaren), for eksempel varme, vann, mudder ol. transporteres med og spres i (adekveres av) en strømning (vektorfeltet) i f.eks. vann eller luft. Spesifikt brukes adveksjonsligningen ofte for å beskrive den horisontale transport av varme og fuktighet som foregår i luftmasser.

Det beste eksempel på dette er kanskje transport av oppløst salt i vann.

Matematisk kan en uttrykke adveksjonsligningen som:

\frac{\partial\psi}{\partial t} +\nabla\cdot\left( \psi{\bold u}\right) =0

der ∇· er divergensen. ψ er skalæren og \bold u er vektorfeltet. Ofte tenker en seg at hastighetsfeltet er solenoidalt, altså er \nabla\cdot{\bold u}=0. Når dette er oppfyllt blir ligningen over redusert til

\frac{\partial\psi}{\partial t} +{\bold u}\cdot\nabla\psi=0.

Hvis strømmen er laminær, er {\bold u}\cdot\nabla\psi=0 som viser at ψ er konstant langs en strømlinje.


Adveksjonsligningen er ikke enkel å løse numerisk: Systemet er en hyperbolsk partiell differensialligning, og interesseområdet er vanligvis diskontinuerlige «sjokkløsninger» (som er svært vanskelig å takle for numeriske skjema).

Selv med konstant fart og et endimensjonalt rom er systemet vanskelig å simulere (det er en standardtest for adveksjonsskjema som kalles grisehusproblemet). Ligningen over blir da:

\frac{\partial\psi}{\partial t}+u\frac{\partial\psi}{\partial x}=0

der ψ = ψ(x,t).

Ifølge Zan [2] kan en skjevsymmetrisk form av adveksjonsoperatoren hjelpe den numeriske løsningen.

\frac{1}{2} {\bold u} \cdot \nabla {\bold u} + \frac{1}{2} \nabla ({\bold u} {\bold u})

der \nabla ({\bold u} {\bold u}) er en vektor med komponenter [\nabla ({\bold u} u_x),\nabla ({\bold u} u_y),\nabla ({\bold u} u_z)] der en har brukt notasjonen {\bold u} = [u_x,u_y,u_z].

Siden skjevsymmetri bare medfører komplekse egenverdier, reduserer denne formen «oppblåsning» og «spektral blokkering», som en ofte får i numeriske løsninger med skarpe diskontinuiteter (se Boyd [1] pp. 213).

rediger Andre størrelser

Adveksjonslignen gjelder også om størrelsen som blir advektert er representert ved en tetthetsfunksjon i hvert punkt, men å regne ut diffusjonene er da vanskeligere.

rediger Referanser

rediger Se også